什麼是 IRR？
內部收益率（IRR）是讓一系列現金流的淨現值（NPV）等於零的折現率。通俗地講，就是使專案現金流入剛好償付現金流出的"年化盈虧平衡回報率"。
\[ 0 = \sum \frac{CF_t}{(1 + IRR)^{t}} \]
其中 \(CF_t\) 是第 \(t\) 期的現金流。第 0 期通常是初始投資，不進行折現。
IRR vs. NPV vs. ROI
- IRR —— 一個比率，可直接與資金成本（必要回報率）比較。
- NPV —— 一個金額，取決於你選擇的折現率。
- ROI —— 簡單比值，忽略貨幣時間價值。
IRR 是 NPV = 0 時對應的那個折現率，三者回答的是互補的問題。
算例
專案今天投入 10,000 元，未來三年分別回收 3,000、4,200、6,800 元：
\[ NPV(r) = -10000 + \frac{3000}{1+r} + \frac{4200}{(1+r)^{2}} + \frac{6800}{(1+r)^{3}} \]
令 NPV = 0 求得 IRR ≈ 25.65%——專案的盈虧平衡年化回報率。
求解方法
IRR 沒有解析解，我們使用：
- Newton-Raphson：速度快，靠近根時二次收斂，需要合理的初始值。
- 二分法兜底：Newton 不收斂時啟用，魯棒但慢。
兩種方法都收斂到 1e-7 以內或最多 200 輪迭代。
多個 IRR
當現金流多次變號（例如先正後負再正）時，NPV(r) = 0 這個多項式可能有 多個實數根。此時 IRR 含義模糊，應改用資金成本下的 NPV。
常見誤區
- 再投資假設：IRR 隱含假設所有中間現金流按 IRR 本身再投資，現實中幾乎不可能成立。MIRR（修正 IRR）允許指定獨立的再投資率。
- 規模盲區：1,000 元投入翻倍和 100 萬元投入翻倍的 IRR 都是 100%，但意義不同。需要結合規模和 NPV 綜合判斷。
- 時點偏好：IRR 偏向獎勵早期回款的專案，可能讓人忽視長週期價值創造。
- 必要回報率對比：IRR 一定要和資金成本比較才有意義。15% 的 IRR 如果成本是 12% 就是虧的；如果是 8% 就是賺的。
何時使用 IRR
- 規模和回款節奏相近的互斥專案對比。
- 給非財務背景的干係人彙報（IRR 作為百分比直觀易懂）。
- 做完整 NPV/DCF 分析前的快速篩選。
資本預算與估值仍應以 NPV 為主指標，把 IRR 當作一致性校驗。
工具說明
IRR 採用 Newton-Raphson + 二分法兜底；NPV 在求得的 IRR 處重算以驗證收斂；圖表用 Chart.js（MIT）繪製——綠色柱表示流入、紅色柱表示流出，琥珀色折線為累計現金流，方便觀察回本時點。