Что такое IRR?
Внутренняя норма доходности (IRR) — это ставка дисконтирования, при которой чистая приведённая стоимость (NPV) ряда денежных потоков равна нулю. Простыми словами, это постоянная годовая доходность, при которой притоки проекта точно окупают его оттоки.
\[ 0 = \sum \frac{CF_t}{(1 + IRR)^{t}} \]
где \(CF_t\) — денежный поток в период \(t\). Этот инструмент помещает каждый поток в один список, по порядку как периоды 1, 2, 3, … и с соответствующим дисконтированием; начальная инвестиция — это просто первый элемент (период 1).
IRR против NPV против ROI
- IRR — ставка, напрямую сравнимая с вашей ставкой отсечения (стоимость капитала, требуемая доходность).
- NPV — сумма в долларах, зависящая от выбранной ставки дисконтирования.
- ROI — простое отношение, игнорирующее временную стоимость денег.
IRR — это ставка, при которой NPV равна нулю, поэтому они отвечают на дополняющие вопросы.
Разобранный пример
Проект стоит $10,000 сегодня и возвращает $3,000, $4,200 и $6,800 в следующие три года:
\[ NPV(r) = -10000 + \frac{3000}{1+r} + \frac{4200}{(1+r)^{2}} + \frac{6800}{(1+r)^{3}} \]
Приравнивая NPV = 0 и решая, получаем IRR ≈ 16.34% — безубыточная годовая доходность проекта.
Как мы решаем
У IRR нет решения в замкнутой форме, поэтому используем:
- Ньютона-Рафсона (быстро, требует разумного начального приближения). Сходимость квадратичная у корня.
- Запасной метод бисекции, если Ньютон-Рафсон застревает. Устойчив, но медленнее.
Оба сходятся в пределах 1e-7 от истинной IRR или завершаются после 200 итераций.
Несколько IRR
Когда денежные потоки меняют знак более одного раза (например, один отток, затем приток, затем снова отток), полином NPV(r) = 0 может иметь несколько вещественных корней. В этом случае IRR неоднозначна, и следует вернуться к NPV по вашей стоимости капитала.
Типичные ошибки
- Предположение о реинвестировании: IRR неявно предполагает, что промежуточные денежные потоки реинвестируются по самой IRR, что на практике редко верно. Модифицированная IRR (MIRR) исправляет это, используя отдельную ставку реинвестирования.
- Слепота к масштабу: проект за $1,000, возвращающий $2,000, имеет ту же 100% IRR, что и проект за $1M, возвращающий $2M. Всегда сравнивайте с масштабом и NPV.
- Важно время: IRR вознаграждает проекты, возвращающие деньги рано, что может увести вас от создания долгосрочной ценности.
- Сравнение со ставкой отсечения: IRR полезна только в сравнении с требуемой доходностью. 15% IRR — плохо, если стоимость капитала 12%; отлично, если 8%.
Когда использовать IRR
- Сравнение взаимоисключающих проектов со схожим масштабом и сроками.
- Донесение доходности до нефинансовых заинтересованных лиц (IRR интуитивна как процент).
- Быстрый отсев перед полным анализом NPV / DCF.
Для бюджетирования капитала и оценки предпочитайте NPV как основную метрику, а IRR используйте как проверку здравым смыслом.
Как заполнять этот инструмент и читать результаты
В этом инструменте только один способ ввода: введите все денежные потоки в один и тот же список, по порядку как периоды 1, 2, 3… и с соответствующим дисконтированием. Отдельного поля «начальная выплата» нет — первоначальная инвестиция это просто первый элемент списка (отрицательное число означает отток). В конце списка всегда остаётся пустое поле; при вводе в него строка добавляется автоматически, а «Пакетная вставка» позволяет вставить всю серию сразу.
Почему Чистая приведённая стоимость (NPV) показывает 0? Показанный NPV пересчитывается по найденной решателем IRR. По определению IRR — это ставка, обращающая NPV в ноль, поэтому NPV(по IRR) неизбежно ≈ 0 (остаток в несколько центов — лишь допуск сходимости). Это число нужно, чтобы подтвердить, что решатель действительно сошёлся к корню — оно не значит, что проект убыточен. Чтобы решить «делать или нет», дисконтируйте по своей стоимости капитала (требуемой доходности): тот NPV может быть положительным или отрицательным. Этот инструмент сейчас показывает только NPV (по IRR).
Что такое Начальное приближение (%)? Это стартовая точка поиска численного решателя (Ньютона-Рафсона), в % (значение по умолчанию 10 означает 10 %). У IRR нет решения в замкнутой форме, поэтому решатель итеративно ищет корень, начиная с этого числа. Для обычных проектов оставлять 10 % по умолчанию достаточно для сходимости к истинной IRR; только когда выдаётся «нет решения» или денежные потоки меняют знак несколько раз (несколько IRR), имеет смысл другое приближение, ближе к ожидаемому. После сходимости приближение не меняет истинную IRR.
Об этом инструменте
IRR решается методом Ньютона-Рафсона с запасным методом бисекции. NPV по решённой ставке сообщается для подтверждения сходимости. Диаграмма показывает денежный поток каждого периода цветным столбиком (зелёный приток, красный отток) и накопленный денежный поток янтарной линией, чтобы вы могли видеть, когда проект выходит в ноль.