什么是 IRR？
内部收益率（IRR）是让一系列现金流的净现值（NPV）等于零的折现率。通俗地讲，就是使项目现金流入刚好偿付现金流出的"年化盈亏平衡回报率"。
\[ 0 = \sum \frac{CF_t}{(1 + IRR)^{t}} \]
其中 \(CF_t\) 是第 \(t\) 期的现金流。第 0 期通常是初始投资，不进行折现。
IRR vs. NPV vs. ROI
- IRR —— 一个比率，可直接与资金成本（必要回报率）比较。
- NPV —— 一个金额，取决于你选择的折现率。
- ROI —— 简单比值，忽略货币时间价值。
IRR 是 NPV = 0 时对应的那个折现率，三者回答的是互补的问题。
算例
项目今天投入 10,000 元，未来三年分别回收 3,000、4,200、6,800 元：
\[ NPV(r) = -10000 + \frac{3000}{1+r} + \frac{4200}{(1+r)^{2}} + \frac{6800}{(1+r)^{3}} \]
令 NPV = 0 求得 IRR ≈ 25.65%——项目的盈亏平衡年化回报率。
求解方法
IRR 没有解析解，我们使用：
- Newton-Raphson：速度快，靠近根时二次收敛，需要合理的初始值。
- 二分法兜底：Newton 不收敛时启用，鲁棒但慢。
两种方法都收敛到 1e-7 以内或最多 200 轮迭代。
多个 IRR
当现金流多次变号（例如先正后负再正）时，NPV(r) = 0 这个多项式可能有 多个实数根。此时 IRR 含义模糊，应改用资金成本下的 NPV。
常见误区
- 再投资假设：IRR 隐含假设所有中间现金流按 IRR 本身再投资，现实中几乎不可能成立。MIRR（修正 IRR）允许指定独立的再投资率。
- 规模盲区：1,000 元投入翻倍和 100 万元投入翻倍的 IRR 都是 100%，但意义不同。需要结合规模和 NPV 综合判断。
- 时点偏好：IRR 偏向奖励早期回款的项目，可能让人忽视长周期价值创造。
- 必要回报率对比：IRR 一定要和资金成本比较才有意义。15% 的 IRR 如果成本是 12% 就是亏的；如果是 8% 就是赚的。
何时使用 IRR
- 规模和回款节奏相近的互斥项目对比。
- 给非财务背景的干系人汇报（IRR 作为百分比直观易懂）。
- 做完整 NPV/DCF 分析前的快速筛选。
资本预算与估值仍应以 NPV 为主指标，把 IRR 当作一致性校验。
工具说明
IRR 采用 Newton-Raphson + 二分法兜底；NPV 在求得的 IRR 处重算以验证收敛；图表用 Chart.js（MIT）绘制——绿色柱表示流入、红色柱表示流出，琥珀色折线为累计现金流，方便观察回本时点。