72 法則

什麼是 72 法則

72 法則是一個心算工具，用來快速估算複利下資產翻倍所需的時間：

\[\begin{aligned} \text{翻倍年數} &\approx \frac{72}{\text{年化利率 (\%)}} \\ \text{所需年化利率} &\approx \frac{72}{\text{翻倍年數}} \end{aligned}\]

例如：年化 8%，約 9 年翻倍；年化 6%，約 12 年翻倍。

精確公式

真正的複利翻倍時間來自 (1 + r)^n = 2，兩邊取對數：

\[n = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)} \approx \frac{0.6931}{\ln(1 + r)}\]

對 r = 8% 時精確解為 9.006 年，與 72/8 = 9 幾乎完全一致。

為什麼是 72

對小 r，ln(1+r) ≈ r − r²/2。帶入後可得近似值 n ≈ ln(2)/r ≈ 0.693/r。若 r 用百分數表示，則 n ≈ 69.3/r，取整數便於心算。而 72 有很多因子（2、3、4、6、8、9、12），對常見利率（4%-12%）比 69 更方便整除，故被廣泛採用。

有效範圍

• 6%-10%：近似誤差 < 0.3 年，最佳區間。
• < 4% 或 > 15%：誤差開始增大，建議切換到 70 法則或 69 法則。
• 連續複利：使用 69.3 更精確。

反向應用

1. 反推所需利率：想 10 年翻倍 → 大約需要 7.2% 年化。
2. 通脹侵蝕速度：通脹 3% → 購買力約 24 年砍半。
3. 債務警惕：信用卡年化 18% → 4 年債務翻倍。

使用建議

• 用於估算和直覺，不要作為精確規劃。
• 忽略稅收、費用、通脹，長期結果可能偏樂觀。
• 通過 "利率 ↔ 年數" 兩種模式對照，感受複利曲線的對稱性。

與工具

本工具同時展示 72 法則的近似值和 (1+r)^n = 2 的精確解，讓你直觀看到誤差。